Proofs

Invertendo property

i) If a : b = c : d, then b : a = d : c.

Alternando property

ii) If a : b = c : d, then a : c = b : d.

or a : c = b : d

Componendo property

iii) If a : b = c : d, then a + b : b = c + d : d.

or a + b : b = c + d : d

Dividendo property

iv) If a : b = c : d, then a – b : b = c – d : d.

or a – b : b = c – d : d

Componendo-Dividendo property

v) If a : b = c : d, then a + b : a – b = c + d : c – d.

or a + b : a – b = c + d : c – d